Určitý integrál

Pojem integrálu je jedným z najvýznamnejších pojmov v matematike vôbec. V naj- primitívnejšej podobe ho používali už starí Gréci pri tvorbe euklidovskej geometrie. No až po Descartovom diele o analytickej geometrii z roku 1637 mohli matematici začať považovať integrál za predmet analýzy. Descartova práca pripravila podmienky pre objav infinitezimálneho počtu Leibnizom a Newtonom okolo roku 1665. V tom čase vznikol veľký spor o prvenstvo tohto objavu, čo rozdelilo učencov Nemecka a Anglicka do dvoch bojujúcich táborov, z ktorých každý fandil svojmu favoritovi. Dnes vieme, že Newtonova práca o fluxiách a fluentoch bola o niečo skoršia, ale Leibnizovo označenie a prístup sa v matematickom svete ujali viac a symboly R a d sa používajú dodnes. Stručný prierez históriou integrálu bude uvedený v Kapitole 1.

Dnes existuje celá hromada skrípt, učebníc, či kníh venovaných výkladu pojmu integrál. Preto pred prvú otázku, či napísať ďalší text o tejto problematike, je postavený každý potenciálny autor. Nás ku kladnej odpovedi na túto otázku doviedla požiadavka študentov nájsť v určitej ucelenej podobe prednášanú problematiku časti zimného semestra druhého ročníka. Druhou motiváciou je trochu odlišný prístup k problematike. Ak si totiž uvedomíme, ktoré metódy sa zvyčajne používajú pri riešení úloh a zís- kavaní rutiny z určitého integrálu, ide hlavne o Newtonovu-Leibnizovu formulu a častokrát na výpočet určitého (Riemannovho) integrálu pomocou definície nezostáva veľa času. Preto sme zaradili pojednanie o Newtonovom integráli v Kapitole 2, ktorý reflektuje túto skutočnosť a má priamy súvis s neurčitým integrálom, ktorého rôznym metódam výpočtu sa venuje relatívne veľa pozornosti v predchádzajúcom semestri. Až za tým v Kapitole 3 vybudujeme teóriu Riemannovho integrálu, uvedieme kritériá jeho existencie, triedy integrovateľných funkcií, základné vlastnosti a nakoniec vzťah s Newtonovým integrálom. Otázky prevažne geometrických aplikácií riešime v Kapitole 4 a v poslednej kapitole sa venujeme rozšíreniu Riemannovho integrálu pre neohraničené funkcie a neohraničené intervaly.

Ako sme už uviedli, cieľom tohto učebného textu je poslúžiť študentom pri štú- diu matematickej analýzy, hlavne pri jej štúdiu v učiteľských kombináciách, čo však nevylučuje jeho použitie aj v iných študijných odboroch. To ovplyvnilo aj spôsob výkladu, kde popri exaktných metódach častokrát upozorňujeme aj na historické aspekty a súvislosti preberaného učiva. Veríme, že motivácia k niektorým zavedeným pojmom a množstvo príkladov poslúži študentom k lepšiemu pochopeniu a uvedo- meniu si niektorých súvislostí, ktoré miestami len naznačíme, pretože tento text ani zďaleka nevyčerpáva obsah problematiky. Je milou povinnosťou autora poďakovať recenzentom doc. RNDr. Božene Mihalíkovej, CSc. a doc. RNDr. Jánovi Haluškovi, CSc. za viaceré cenné pripomienky, ktorými prispeli k celkovému vylepšeniu učebného textu. Taktiež patrí autorovo poďakovanie Mgr. Lenke Halčinovej za starostlivé prečítanie a korekciu predchádzajúcich verzií textu. Napokon autor ďakuje kolektívu vydavateľstva UPJŠ za konečné úpravy tejto učebnice.